Tunny Icon
TunnyDocs

The next-gen Grasshopper optimization tool.

ピアソン相関係数

概要

ピアソン積率相関係数 rr は、2 つの量が直線的に連動する強さを表す数値です。 値は −1-1 から +1+1 の範囲を取り、相関の指標としてはもっとも基本的なものになります。

  • 一方が増えると他方も比例的に増える関係なら +1+1 に近づきます
  • 一方が増えると他方が比例的に減る関係なら −1-1 に近づきます
  • まったく連動しない（無相関）なら 00 に近づきます

絶対値 ∣r∣|r| が大きいほど直線的な連動が強いことを意味します。

共分散との違いは、値がスケールに依存しない点です。 共分散だけでは 2 変数の単位やスケールがそのまま残るため、値の大小を別のペアと比べられません。 rr は標準偏差の積で割ってスケールを打ち消しているので、単位の異なる変数どうしでも同じ物差しで並べられます。

数式

2 つの系列 x=(x1,…,xn)x = (x_1, \dots, x_n)、$y = (y_1, \dots, y_n)$ に対し、平均を xˉ,yˉ\bar x, \bar y として:

r=Corr(x,y)=∑i(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑i(xi−xˉ)2 ∑i(yi−yˉ)2r = \mathrm{Corr}(x, y) = \frac{\sum_i (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{\sqrt{\sum_i (x_i - \bar x)^2 , \sum_i (y_i - \bar y)^2}}

計算式は「2 つの量の共分散を、それぞれの標準偏差の積で割る」ものです。 上式の分子が共分散、分母が標準偏差の積に相当します。 各値から平均 xˉ,yˉ\bar x, \bar y を引いているのは、平均からのずれ（偏差）どうしが同じ向きに動くかを見るためです。 標準偏差の積で割ることでスケールが打ち消され、値域が [−1,+1][-1, +1] に正規化されます。

特性・限界

強み:

  • スケールに依存しません（ [−1,+1][-1, +1] に正規化されます）
  • 計算が単純で高速

弱み:

  • 線形の連動しか捉えられません。非線形（曲線的）な関係は、強い関係があっても rr が小さく出ることがあります
  • 外れ値に弱いです（生の値を使うため、極端な点に引きずられます）

たとえば y=x2y = x^2 のように xx が 00 をまたぐ U 字型の関係では、両者にはっきりした対応があっても rr はほぼ 00 になります。 係数の値だけを見て「関係がない」と結論づけると判断を誤る場合もあるため、Scatter Matrixなどで散布図の形もあわせて確認してください。

非線形でも単調な関係を頑健に捉えたい場合は、生の値ではなく順位列にピアソン相関を適用するスピアマン順位相関を用います。 順位は等間隔の値になるので、順位どうしの線形な連動を見ることが、元の値の単調な連動を見ることに対応します。

アプリ内での利用箇所

  • Scatter Matrix：各変数ペアの相関係数（上三角セル）を、生の値に対するピアソン相関で計算します（Scatter Matrix）。
  • スピアマン順位相関：ピアソン相関を順位列に適用したものが Spearman です（スピアマン順位相関）。

参考文献

← 前へ統計: 分布フィッティング次へ →統計: 相関行列