ピアソン相関係数

概要

ピアソン積率相関係数 $r$ は、2 つの量がどれだけ直線的（線形）に連動するかを $-1$ から $+1$ の範囲で表す、最も基本的な相関の指標です。

• 一方が増えると他方も比例的に増える関係なら $+1$ に近づきます
• 一方が増えると他方が比例的に減る関係なら $-1$ に近づきます
• まったく連動しない（無相関）なら $0$ に近づきます

絶対値 $|r|$ が大きいほど直線的な連動が強いことを意味します。

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数式

2 つの系列 $x = (x_1, \dots, x_n)$、 $y = (y_1, \dots, y_n)$ に対し、平均を $\bar x, \bar y$ として:

$$r = \mathrm{Corr}(x, y) = \frac{\sum_i (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{\sqrt{\sum_i (x_i - \bar x)^2 , \sum_i (y_i - \bar y)^2}}$$

計算式は「2 つの量の共分散を、それぞれの標準偏差の積で割る」ものです。 上式の分子が共分散、分母が標準偏差の積に相当します。 各値から平均 $\bar x, \bar y$ を引いているのは、平均からのずれ（偏差）どうしが同じ向きに動くかを見るためです。 標準偏差の積で割ることでスケールが打ち消され、値域が $[-1, +1]$ に正規化されます。

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特性・限界

強み:

• スケールに依存しません（ $[-1, +1]$ に正規化されます）
• 計算が単純で高速

弱み:

• 線形の連動しか捉えられません。非線形（曲線的）な関係は、強い関係があっても $r$ が小さく出ることがあります
• 外れ値に弱いです（生の値を使うため、極端な点に引きずられます）

非線形でも単調な関係を頑健に捉えたい場合は、生の値ではなく順位列にピアソン相関を適用するスピアマン順位相関を用います。

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アプリ内での利用箇所

• Scatter Matrix：各変数ペアの相関係数（上三角セル）を、生の値に対するピアソン相関で計算します（Scatter Matrix）。
• スピアマン順位相関：ピアソン相関を順位列に適用したものが Spearman です（スピアマン順位相関）。

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参考文献

• Pearson, K. (1895). Note on regression and inheritance in the case of two parents. Proceedings of the Royal Society of London, 58, 240–242. https://doi.org/10.1098/rspl.1895.0041