Sobol

概要

Sobol 感度指数は、目的関数の分散分解に基づいてパラメータの重要度を定量化するグローバル感度分析手法です。 線形か非線形かを問わず、パラメータ間の交互作用も含めた影響度を $[0,1]$ の値として返します。

Tunny Dashboard では 2 種類の指数を提供します:

指数	記号	意味
一次指数 (First-Order)	$S_i$	パラメータ $x_i$ の単独寄与率
全効果指数 (Total-Effect)	$ST_i$	$x_i$ の単独 + 他パラメータとの交互作用を含む総寄与率

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理論背景

ANOVA 分散分解

Sobol 分解は、モデル出力 $Y = f(X_1, \ldots, X_p)$ の分散を各パラメータの寄与に分解します:

$$\mathrm{Var}(Y) = \sum_i V_i + \sum_{i<j} V_{ij} + \cdots + V_{1\ldots p}$$

• $V_i = \mathrm{Var}(\mathbb{E}[Y \mid X_i])$： $x_i$ のみが変化したときの $Y$ の期待値の分散
• $V_{ij} = \mathrm{Var}(\mathbb{E}[Y \mid X_i, X_j]) - V_i - V_j$： $x_i$ と $x_j$ の交互作用分散

一次指数

$$S_i = \frac{V_i}{\mathrm{Var}(Y)}$$

x_i の変化だけで説明できる Y の分散の割合です。 S_i の合計は ≤ 1（交互作用がなければ = 1）です。

全効果指数

$$ST_i = \frac{\mathbb{E}[\mathrm{Var}(Y \mid X_{\sim i})]}{\mathrm{Var}(Y)} = 1 - \frac{\mathrm{Var}(\mathbb{E}[Y \mid X_{\sim i}])}{\mathrm{Var}(Y)}$$

X_{~i} は「x_i 以外のすべてのパラメータ」です。 ST_i は、x_i の単独効果と x_i が絡むすべての交互作用効果の合計です。 $ST_i \ge S_i$ は常に成立します。 差 $ST_i - S_i$ が大きいほど、 $x_i$ が他パラメータとの交互作用に強く関与していることを意味します。

有限サンプル推定の注意: Saltelli 一次指数推定量と Jansen 全効果推定量は独立に計算されるため、有限サンプルでは $\hat{S}_i > \hat{ST}_i$ が生じることがあります。 Tunny Dashboard では推定後に $\hat{ST}_i \leftarrow \max(\hat{ST}_i, \hat{S}_i)$ を適用してから $[0,1]$ にクランプし、理論的性質を出力値で保証しています。

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Tunny Dashboard での計算方法

全体フロー

直接 Monte Carlo 積分を行うと n × p 倍のシミュレーション実行が必要になり、最適化問題では現実的ではありません。 代わりに二次 Ridge サロゲートモデルを構築し、そのモデル上で Saltelli サンプリングを行います。

1. 二次 Ridge サロゲートを構築します。
2. Saltelli 行列 A, B を ChaCha8 で生成します。
3. A, B, AB_i でサロゲートを評価します。
4. Jansen 推定量で S_i, ST_i を計算します。

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Step 1: 二次 Ridge サロゲートモデル

特徴量構成

p 個の標準化済み線形入力から p(p+3)/2 次元の二次特徴量ベクトルを構築します:

$$\phi(x) = [x_1, \ldots, x_p,; x_1^2, \ldots, x_p^2,; x_1x_2, \ldots, x_{p-1}x_p]$$

例: p = 3 → 3 + 3 + 3 = 9 次元 (= 3×6/2)

したがって、サロゲートの特徴量次元は

$$d_\phi = p + p + \frac{p(p-1)}{2} = \frac{p(p+3)}{2}$$

であり、学習サンプル数 $n$ は少なくとも $d_\phi$ と同程度、実務上は $n \gg d_\phi$ が望ましいです。

サロゲートの学習

1. $X$ の各列を Z スコア標準化

$$\tilde x_j = \frac{x_j-\mu_j}{\sigma_j}$$