Box-Muller変換 | Tunny docs

概要

Box-Muller 変換は、一様乱数を正規乱数に変える手法です。独立な一様乱数のペアを入力すると、独立な標準正規乱数のペアが出力されます。本アプリのすべてのガウスサンプリング（代表的には Robustness ウィジェットの入力ノイズ摂動）は、このサンプラーの上に載っています。

採用の理由は 3 つあります。近似ではなく厳密であること、分岐がないこと、そしてアプリの決定論的な ChaCha8 ベース乱数生成器の上で再現性を確保しやすいことです。特に最後の点は重要で、シードを固定することで同じ設定なら常に同じ解析結果が得られます。

数式

独立な一様乱数 $U_1, U_2 \sim \mathcal{U}(0, 1)$ に対して:

$Z_0 = \sqrt{-2 \ln U_1} , \cos(2\pi U_2), \qquad Z_1 = \sqrt{-2 \ln U_1} , \sin(2\pi U_2)$

このとき $Z_0, Z_1 \sim \mathcal{N}(0, 1)$ であり、両者は独立です。

この構成は、極座標への変数変換です。 $R^2 = -2\ln U_1$ は半径の 2 乗に自由度 2 のカイ二乗分布（標準 2 変量正規分布における $Z_0^2 + Z_1^2$ の分布）を与え、$\Theta = 2\pi U_2$ は角度を一様に選びます。半径と角度をそれぞれ正しい分布から独立に引くことで、ペア $(R, \Theta)$ を直交座標へ戻すだけで独立な標準正規乱数が 2 つ得られます。

平均 $\mu$ 、標準偏差 $\sigma$ の一般のガウスサンプルは、スケールとシフトで得ます: $X = \mu + \sigma Z$ 。たとえば Robustness ウィジェットの入力ノイズは、$\mu = 0$、$\sigma$ を各パラメータの宣言レンジに対する割合として与えたものです。

特性・限界

厳密：出力は（浮動小数点誤差を除き）正規分布に厳密に従います。一様乱数 12 個の和のような近似法とは異なります。
定義域への配慮：$\ln U_1$ は $U_1 > 0$ を要求します。基盤の生成器は $[0, 1)$ の値を返すため、Tunny Dashboard は対数に $1 - U$ （ $(0, 1]$ の範囲）を渡し、生の値がちょうど $0$ でも $\ln 0 = -\infty$ が発生しないようにしています。
本アプリは余弦側（ $Z_0$ ）のみを使い、$Z_1$ は捨てています。効率は半分になります。ですが $Z_1$ を次の呼び出しまで持ち越す状態を抱えずに済むため、呼び出しが単純になります。解析あたり数千サンプル程度の規模では、このコストは無視できます。
再現性：シード付き ChaCha8 乱数生成器で駆動されるため、同じシードなら常に同じガウス列が得られます。ロバスト性解析の結果が設定固定で決定論的になるのは、この性質によるものです。同じ候補設計を 2 回解析しても統計量は動きません。これにより、2 つの候補の分布を並べて比較する使い方が成立します。
裾の挙動は、$1$ 近傍での $U_1$ の分解能に制限されます。53 ビット倍精度では到達可能な最大の $|Z|$ は約 $8.5\sigma$ です。ここで扱うサンプル数は最大でも 4096 なので、この制限が問題になることはほとんどありません。

アプリ内での利用箇所

Robustness ウィジェット：候補設計点まわりのガウス入力ノイズ摂動の生成と、（"Model uncertainty" 有効時の）GP 事後分布からのドローに使われます。

参考文献

Box, G. E. P., & Muller, M. E. (1958). A Note on the Generation of Random Normal Deviates. Annals of Mathematical Statistics, 29(2), 610–611. https://doi.org/10.1214/aoms/1177706645