単目的

以下では、6 つの目的関数の詳細を説明します。

Ackley Function

Ackley 関数は、大域最適化アルゴリズムのテストに広く使われるベンチマークです。原点にある単一の大域最小値を取り囲む多数の局所最小値を持つ、複雑な多峰性の landscape が特徴です。この関数は指数関数とコサイン関数の成分を組み合わせることで、外側がほぼ平坦で中心に鋭いピークを持つ形状を作り出し、アルゴリズムが大域最適解を見つけるのを難しくします。この関数は、信号処理、ニューラルネットワークの学習、パラメータチューニングなど、多数の局所最適解が探索アルゴリズムを罠にかける可能性がある最適化問題をシミュレートします。

主な特徴:

• 多数の局所最小値を持つ多峰性
• 指数関数的な減衰によるほぼ平坦な外側領域
• 大域最適解付近の鋭い中心ピーク
• 探索と活用のバランスをテスト

この目的関数は以下の式で表されます。

$$f(x) = -20 \exp\left(-0.2\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^2}\right) - \exp\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\cos(2\pi x_i)\right) + 20 + e$$

目的関数は以下のように 3D で表示されます。

等高線表示により、目的関数の値が理解しやすくなります。星印の位置が最適値を示します。

Griewank Function

Griewank 関数は、次元数が増えるほど難易度が上がる多峰性のテスト関数です。原点に 1 つの大域最小値を持ち、二次成分とコサイン成分の相互作用によって多数の局所最小値が生まれます。コサイン項は、高次元になるほど複雑になる周期的な構造を作り出します。この関数は、複数の設計変数が相互作用して多数の実行可能だが最適ではない解を持つ複雑な landscape を作り出す、エンジニアリング設計における最適化の課題を表します。

主な特徴:

• 次元数が増えるほど難易度が上昇
• 二次成分と周期成分の相互作用
• 単一の大域最適解を持つ多数の局所最小値
• 問題規模に対するアルゴリズムのスケーラビリティをテスト

この目的関数は以下の式で表されます。

$$f(x) = \frac{1}{4000}\sum_{i=1}^{n}x_i^2 - \prod_{i=1}^{n}\cos\left(\frac{x_i}{\sqrt{i}}\right) + 1$$

目的関数は以下のように 3D で表示されます。

等高線表示により、目的関数の値が理解しやすくなります。星印の位置が最適値を示します。

Rastrigin Function

Rastrigin 関数は、規則的なパターンで配置された多数の局所最小値を特徴とする、非常に多峰性の高い関数です。sphere 関数をベースに、探索空間全体に複数の山と谷を作り出すコサインによる変調が加えられています。この関数は非常に多くの局所最小値を持つため特に難しく、アルゴリズムが局所最適解から抜け出して大域最小値を見つけることを難しくします。これは、多くのパラメータの組み合わせが局所的には最適だが大域的には最適でない結果をもたらす、機械学習のハイパーパラメータチューニングにおける最適化問題を表します。

主な特徴:

• 規則的なパターンの局所最小値を持つ非常に多峰性の高い関数
• sphere 関数をベースにコサインによる変調を加えたもの
• 均等に分布した多数の局所最適解
• 局所最小値から抜け出すアルゴリズムの能力をテスト

この目的関数は以下の式で表されます。

$$f(x) = 10n + \sum_{i=1}^{n}[x_i^2 - 10\cos(2\pi x_i)]$$

目的関数は以下のように 3D で表示されます。

等高線表示により、目的関数の値が理解しやすくなります。星印の位置が最適値を示します。

Rosenbrock Function

「バナナ関数」としても知られる Rosenbrock 関数は、湾曲した谷の形状を特徴とする古典的な最適化ベンチマークです。大域最小値は 1 つだけですが、この関数は非凸であり、アルゴリズムが効率的に進むのが難しい狭く湾曲した谷を持ちます。最適解は、一方の座標がもう一方の座標の二乗でなければならないような、長く狭い谷の中に存在します。この関数は、最適解が制約された経路や変数間の関係に沿って存在する、構造工学や経済学における最適化の課題をシミュレートします。

主な特徴:

• 狭く湾曲した谷の形状を持つ非凸関数
• 大域最小値は 1 つだが見つけにくい
• 最適解において変数が二次関係を持つ
• 湾曲した経路を追跡するアルゴリズムの能力をテスト

この目的関数は以下の式で表されます。

$$f(x) = \sum_{i=1}^{n-1}[100(x_{i+1} - x_i^2)^2 + (1 - x_i)^2]$$

目的関数は以下のように 3D で表示されます。

等高線表示により、目的関数の値が理解しやすくなります。星印の位置が最適値を示します。

Schwefel Function

Schwefel 関数は、大域最小値が局所最小値から遠く離れた位置にある欺瞞的な多峰性関数で、難しい最適化 landscape を作り出します。この関数は、大域最適解が探索空間の境界付近に位置し、多数の局所最小値が内部全体に分布する複雑な構造を特徴とします。この欺瞞的な性質により、勾配情報や局所探索に依存するアルゴリズムにとって特に困難です。これは、最良の解が直感に反していたり、解空間の予想外の領域に位置していたりする、物流やサプライチェーン最適化における実世界の問題を表します。

主な特徴:

• 大域最小値が局所最小値から遠く離れた欺瞞的な性質
• 探索空間の境界付近に位置する大域最適解
• 複雑な多峰性の構造
• アルゴリズムの大域探索能力をテスト

この目的関数は以下の式で表されます。

$$f(x) = 418.9829n - \sum_{i=1}^{n}x_i\sin(\sqrt{|x_i|})$$

目的関数は以下のように 3D で表示されます。

等高線表示により、目的関数の値が理解しやすくなります。星印の位置が最適値を示します。

Sphere Function

Sphere 関数は、原点に唯一の大域最小値を持つ、最適化における最もシンプルで基本的なベンチマーク関数です。単峰性かつ凸であるため比較的最適化しやすく、アルゴリズムの基本性能や収束速度をテストするのに最適です。この関数はすべての変数の二乗和を表し、解空間内に完全な球状の等高線を作り出します。この関数は、最小二乗フィッティング、キャリブレーションタスク、全体の偏差や誤差を最小化することが主な目的であるあらゆるシナリオにおける最適化問題をシミュレートします。

主な特徴:

• 単一の大域最小値を持つ単峰性かつ凸の関数
• 解空間内の完全な球状の等高線
• アルゴリズムテストのための最もシンプルなベンチマーク
• 基本的な収束速度と精度をテスト

この目的関数は以下の式で表されます。

$$f(x) = \sum_{i=1}^{n}x_i^2$$

目的関数は以下のように 3D で表示されます。

等高線表示により、目的関数の値が理解しやすくなります。星印の位置が最適値を示します。